Gömböc

A budapesti Műegyetem két oktatója - Várkonyi Péter és Domokos Gábor, mindketten építészmérnökök - bizonyította be a világ egyik leghíresebb matematikusának egyik sejtését. A felfedezés eredménye egy furcsa idom, amely leginkább egy teknős páncéljához hasonlít.

Gömböc a Mathematical Intelligencer legújabb számának címlapján

Matematikai szempontból kiemelt jelentőségű az egyetlen stabil és egyetlen instabil egyensúlyi helyzettel egyaránt rendelkező test - állítja Domokos Gábor, a budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszékének tanszékvezető egyetemi tanára. Domokos Gábor (46 éves, építészmérnök) - jelenleg a legfiatalabb hazai akadémikus - a rendszerváltás idején találkozott a káoszelmélet kidolgozásában maradandót alkotó Vlagyimir Igorjevics Arnolddal, a világ egyik leghíresebb matematikusával. A tudós sejtette, hogy létezik olyan homogén (vagyis egyetlen anyagból készült) test, amelynek csak egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzete van, és arra sarkallta a fiatal magyar kutatót, hogy találjon ilyen idomot.

A döntő ötletet végül Várkonyi Péter építészmérnök, a műegyetemi tanszék ifjú oktatója adta, aki jelenleg az amerikai Princetoni Egyetemen dolgozik. Ennek alapján tavaly alkották meg a Gömböc fantázianevű testet, mely egy tekintélyes tudományos folyóirat, a Mathematical Intelligencer legújabb számának címlapján is megjelent. Ilyesmi utoljára 1979-ben fordult elő magyar találmánnyal - az a Rubik-kocka volt.

A Gömböc megértéséhez előbb az egyensúlyi helyzetek jelentőségét kell tisztázni. A jól ismert kockának hat stabil egyensúlyi helyzete van a hat lapján, a csúcsainál pedig nyolc instabil egyensúlyi helyzete, ugyanis a csúcsára állított kockára ható erők is egyensúlyban vannak - az ilyen instabil helyzetet azonban a gyakorlatban csak pillanatokig lehet előidézni. Az élek további, tizenkét, úgynevezett nyereg típusú egyensúlyt jelentenek. Domokosék egyik lényeges eredménye, hogy a testek a nyereg-egyensúlyok nélkül is egyértelműen osztályozhatók, így a kockát a (6,8)-as osztályba sorolták.

Arnold azt sejtette, hogy létezik (1,1)-es test. Az ilyen test mindig ugyanabba a helyzetbe tér vissza, ebben hasonlít a gyerekjátékként ismert keljfeljancsira. Az utóbbi azonban nem homogén, hiszen legalább két anyagból készítik, amelyek közül az egyik az egyensúlyt biztosító nehezékként szolgál. Homogén keljfeljancsit sem könnyű készíteni, olyan testet pedig, melynek emellett csak egy instabil helyzete van, eddig nem ismert a tudomány.

A magyar kutatók csavaros módon igazolták a test létezését. Először síkban, azaz két dimenzióban bizonyították be, hogy ott nem létezik (1,1)-es síkidom. Megmutatták, hogy ha létezne ilyen homogén korong, akkor azt a súlypontján átmenő egyenessel úgy lehetne kettéosztani, hogy az egyik oldalon minden súlyponttól mért sugár nagyobb, mint a másik oldalon. Létezne tehát egy "vastagabb" és egy "vékonyabb" fele, vagyis a kiindulási pont mégsem tekinthető súlypontnak.

A térbeli esetben döntően más a helyzet: ez a bizonyítás ott csődöt mond, emiatt a titokzatos test létéről, illetve nemlétéről sokáig csak találgatni lehetett. Várkonyiék azt feltételezték Arnold sejtése nyomán, hogy létezhet ilyen idom, ha a vastagabb és a vékonyabb fele úgy ölelkezik össze, hogy éppen kiegyensúlyozzák a testet. A Gömböc felfedezéséhez tehát a síkban leírt cáfolat vezetett.

A magyar páros azt is igazolta, hogy egy homogén test egyensúlyi helyzeteinek száma a test apró módosításával mindig növelhető (ilyesmit tett Columbus, amikor a róla elnevezett tojás csúcsát az asztal lapjához ütve "egyensúlyozta" ki). Mivel ez fordítva nem igaz (tehát az egyensúlyok száma apró módosításokkal általában nem csökkenthető), az (1,1) típusú Gömböcből, az őssejthez hasonlóan, minden más típus származtatható, őt magát azonban nem származtathatjuk máshonnan.

Nem véletlenül keresztelték Gömböcnek az új formát. A testek lapossága és hosszúkássága számszerűsíthető, mindkét esetben a minimális érték éppen egységnyi. Domokosék azt igazolták, hogy magán a gömbön kívül csak az (1,1) típusú testek érik el mindkét mutatóban a minimumot.

A Gömböc meglepő formája számos asszociációt ébreszt, az eddigi leglátványosabb a teknőspáncélokkal való párhuzam. A magas páncéllal rendelkező teknősök ugyanis a Gömböc alakjához meglepően hasonlító burkot növesztettek, ami segíti őket, ha kibillennek az egyensúlyukból. "A lapos páncélú teknősök a nyakukat használva fordulnak vissza, ha megfordítjuk őket. A magas páncélúak erre nem tudják használni a nyakukat, ezt a feladatot a páncél vette át" - állítja a kutató, aki munkatársaival teknősöket és más, páncéllal rendelkező állatokat szeretne vizsgálni.

Ötvös Zoltán • 2007. február 3. 

forrás: nol.hu